6.1 Concetti di base di teoria dei giochi

Gli stessi fattori che possono portare alla formazione di un monopolio — come barriere all’ingresso o controllo esclusivo di risorse — possono anche generare una struttura di mercato in cui pochi produttori dominano l’offerta: un oligopolio. A differenza della concorrenza perfetta, in un oligopolio le imprese hanno dimensioni rilevanti e potere di mercato, proprio come nel caso del monopolio. Tuttavia, a differenza del monopolista, queste imprese si fanno concorrenza tra loro. Le loro decisioni sono quindi interdipendenti, poiché le scelte di un’impresa influenzano direttamente i profitti delle altre. Questa interdipendenza rende l’analisi dell’oligopolio diversa da quella dei mercati visti finora.

Per comprendere la differenza, riprendiamo l’esempio introdotto nel capitolo precedente: consideriamo un mercato in cui la curva di domanda è $P=5-Q/1000$. Supponiamo che nel mercato operino solo due imprese — un duopolio — che chiameremo impresa 1 e impresa 2. Indichiamo rispettivamente con $Q_1$ e $Q_2$ le quantità prodotte dalle due imprese. Assumiamo inoltre che entrambe possano scegliere liberamente il proprio livello di capitale (numero di unità produttive) e che quindi, come nel caso del monopolista, il costo marginale sia costante, diciamo pari a 2.

Per prendere decisioni ottimali, ciascuna impresa deve determinare la quantità da produrre che massimizza la differenza tra ricavi e costi. Consideriamo l’impresa 1: il suo costo per produrre una qualunque quantità $Q_1$ è semplicemente $2Q_1$. Per calcolare il ricavo, assumiamo che il prezzo di mercato si aggiusti in modo tale che la domanda assorba la quantità complessivamente prodotta. Il prezzo sarà allora $P=5-(Q_1+Q_2)/1000$, e quindi il ricavo dell’impresa 1 sarà $[5-(Q_1+Q_2)/1000]\times Q_1$. A questo punto emerge una difficoltà: come può l’impresa 1 scegliere $Q_1$ in modo ottimale senza conoscere la quantità $Q_2$ prodotta dall’altra impresa?

Lo strumento per l’analisi di queste situazioni è la teoria dei giochi. Quando le decisioni ottimali di un agente economico — nel nostro caso, un’impresa — dipendono dalle scelte degli altri, diventa essenziale prevedere il comportamento dei concorrenti. La teoria dei giochi fornisce gli strumenti per studiare queste situazioni strategiche, in cui gli esiti dipendono dall’interazione tra le decisioni di più agenti razionali.

Un gioco a mosse simultanee è un modello che specifica tre elementi: chi sono i giocatori, quali strategie ciascun giocatore ha a disposizione, e quali sono i payoff — nel caso delle imprese, i profitti — associati a ogni possibile profilo di strategie, cioè a ogni combinazione di scelte fatte dai giocatori. Si assume che i giocatori prendano le loro decisioni indipendentemente e simultaneamente, senza conoscere in anticipo le mosse altrui, e che ciascuno agisca con l’obiettivo di massimizzare il proprio payoff.

La figura seguente Questo gioco è un esempio di dilemma del prigioniero. L’idea nasce da una situazione ipotetica in cui due sospettati, interrogati separatamente, devono decidere se confessare o restare in silenzio. Nel nostro gioco, Down corrisponde a confessare e Up a restare in silenzio per il giocatore 1; Right corrisponde a confessare e Left a restare in silenzio per il giocatore 2. Le combinazioni delle scelte determinano i payoff corrispondenti alle possibili “condanne”. La versione astratta del gioco fu formulata da Merrill Flood e Melvin Dresher alla RAND Corporation nel 1949. Albert Tucker introdusse poi la storia dei prigionieri, rendendolo celebre in economia e psicologia. fornisce un esempio di gioco con due giocatori e due strategie ciascuno. Le possibili strategie del giocatore 1 sono Up e Down, quelle del giocatore 2 sono Left e Right. Ci sono quindi quattro possibili profili di strategie: (Up, Left), (Up, Right), (Down, Left), e (Down, Right). I payoff corrispondenti sono indicati in blu per il giocatore 1, in rosso per il giocatore 2.

Una volta descritta la situazione attraverso un gioco, la domanda a cui dobbiamo rispondere è: cosa faranno i giocatori?

Strategie dominate

Una strategia di un giocatore è dominata da un’altra strategia di quel giocatore se, quali che siano le strategie degli altri giocatori, il payoff ottenuto giocando la prima strategia è minore di quello ottenuto giocando la seconda. In altre parole, una strategia dominata è sempre peggiore rispetto a un’alternativa (sempre la stessa alternativa), e quindi un giocatore razionale non dovrebbe mai sceglierla.

Nel gioco visto prima, Il dilemma del prigioniero rivela una tensione fondamentale tra interesse individuale e collettivo. Ogni giocatore ha incentivo a seguire la propria strategia dominante, ma se entrambi lo fanno l’esito è inefficiente: il risultato è stabile e razionale dal punto di vista individuale, ma sfavorevole per entrambi se confrontato con il profilo di strategie cooperativo, ovvero (Up, Left). Up è dominata da Down, e Left è dominata da Right. Assumendo che entrambi i giocatori siano razionali e quindi non scelgano strategie dominate, possiamo allora prevedere che l’esito del gioco sarà il profilo di strategie (Down, Right). Abbiamo “risolto” il gioco eliminando le strategie dominate.

Portando avanti questa logica, possiamo assumere che ciascun giocatore sia non solo razionale, ma pensi che anche gli altri lo siano, che anche gli altri pensino che lui sia razionale, ecc. Avanzando in questo modo, siamo spesso in grado di risolvere giochi più complicati, attraverso una procedura di eliminazione iterata delle strategie dominate. La procedura replica la logica descritta sopra. Dato che i giocatori sono razionali, non dovrebbero scegliere strategie dominate. Non solo: i giocatori non dovrebbero scegliere nemmeno strategie che, benché non siano dominate, lo diventano una volta che dal gioco abbiamo eliminato le strategie dominate. E così via. La seguente figura mostra un esempio.

Eliminazione iterata - Step 1 Eliminazione iterata - Step 2 Reset

Tornando al duopolio di cui abbiamo parlato all’inizio del capitolo, assumiamo per semplicità che ciascuna impresa abbia a disposizione solo quattro possibili strategie: non produrre affatto, produrre una quantità medio-bassa (400), produrre una quantità medio-alta (1200), o produrre una quantità alta (1600). Dato che la domanda di mercato è $P=5-Q/1000$ e il costo marginale di ciascuna impresa è uguale a 2, la situazione è allora descritta dal gioco seguente. Anche se il gioco sembra complicato, osservandolo con un po’ di attenzione notiamo che possiamo risolverlo eliminando iterativamente le strategie dominate, seguendo la procedura (stavolta in tre step) qui a lato.

Eliminazione iterata - Step 1 Eliminazione iterata - Step 2 Eliminazione iterata - Step 3 Reset

Equilibrio di Nash

Non tutti i giochi possono essere risolti attraverso l’eliminazione iterata di strategie dominate. In molti casi, infatti, dopo la procedura restano più profili di strategie, e non è immediato stabilire quale sarà l’esito del gioco. Per affrontare queste situazioni, occorre un criterio più generale: il concetto di equilibrio di Nash. John Nash (premio Nobel per l’economia 1994) sviluppò il concetto di equilibrio nella sua tesi di dottorato a Princeton nel 1950. Il suo relatore era Albert Tucker, lo stesso che poco prima aveva reso celebre il dilemma del prigioniero.
Un profilo di strategie è un equilibrio di Nash se nessun giocatore ha un incentivo a cambiare unilateralmente la propria strategia, dato il comportamento degli altri. In altre parole, ogni giocatore sta facendo la scelta ottima per sé, supponendo che gli altri non cambino le loro. L’equilibrio di Nash, un concetto centrale della teoria dei giochi, rappresenta quindi una situazione in cui le aspettative e le azioni dei giocatori sono compatibili tra loro.

Il calcolo degli equilibri di Nash si basa sull’analisi delle risposte ottime dei giocatori. Per ogni strategia che il secondo giocatore potrebbe scegliere, si identifica la strategia (o le strategie) che garantisce al primo giocatore il payoff più alto. Si fa poi la stessa cosa per l’altro giocatore. Un equilibrio di Nash è un profilo di strategie che sono risposte ottime l’una all’altra: nessun giocatore ha incentivo a deviare se pensa che l’altro non devierà. Quando un gioco è rappresentato in forma di matrice, come nei giochi visti prima — due giocatori con un numero finito di strategie per ciascuno — il calcolo si può fare facilmente evidenziando le risposte ottime di ciascun giocatore nelle varie celle della matrice.

Nella figura seguente illustriamo un gioco che non è risolvibile attraverso l’eliminazione iterata di strategie dominate, ma possiede un unico equilibrio di Nash, ossia (Up, Left).

Mostra risp. ottima Gioc. 1

Mostra risp. ottima Gioc. 2

Come detto in precedenza, l’equilibrio di Nash è un concetto più generale dell’eliminazione iterata di strategie dominate. Quando il gioco è risolvibile attraverso l’eliminazione iterata di strategie dominate, l’unico esito superstite della procedura è necessariamente anche l’unico equilibrio di Nash. Illustriamo questo fatto riproponendo il gioco del duopolio visto prima.

Mostra risp. ottima imp. 1 Mostra risp. ottima imp. 2