11.2 Mercato assicurativo
Nella sezione precedente abbiamo visto come un individuo prende decisioni in condizioni di incertezza, valutando alternative sulla base della loro utilità attesa. Abbiamo visto che, se l’individuo è avverso al rischio, è disposto a rinunciare a parte del payoff atteso della propria ricchezza pur di ridurre l’esposizione a eventi sfavorevoli. In questa sezione estendiamo l’analisi a un contesto di mercato: il mercato dell’assicurazione.
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Studieremo il funzionamento di un mercato concorrenziale in cui imprese assicurative offrono polizze a individui identici in termini di ricchezza e rischio di danno, ma diversi in termini di atteggiamento verso il rischio. Analizzeremo l’equilibrio tra domanda e offerta e vedremo come esso consenta una copertura efficiente del rischio, massimizzando il surplus generato dallo scambio.
Domanda individuale di assicurazione
Supponiamo che la popolazione sia composta da molti individui. Per semplicità, assumiamo che la ricchezza iniziale sia uguale per tutti e pari a $10000$ euro, e che tutti fronteggino lo stesso rischio: ciascun individuo con probabilità $p$ perde l’intera ricchezza e con probabilità $1-p$ non subisce alcuna perdita. Mentre la probabilità $p$ è identica per tutti, ciò che distingue gli individui è il loro atteggiamento verso il rischio. Più precisamente, ciascun individuo ha una funzione di utilità della forma $u(W) = W^\pi$, dove $\pi$ misura il suo grado di propensione al rischio: gli individui con $\pi< 1$ sono avversi al rischio, quelli con $\pi>1$ sono propensi, e quelli con $\pi=1$ neutrali.
Consideriamo ora un contratto assicurativo che garantisce il rimborso completo della perdita. Quanto sarebbe disposto a pagare un individuo con un dato valore di $\pi$ per eliminare il rischio? Il grafico superiore della figura seguente fornisce la risposta a questa domanda. Dato che una copertura totale del danno garantisce all’individuo una somma certa pari a $10000$ meno il premio pagato alla compagnia, all’individuo conviene assicurarsi se tale somma certa è almeno pari all’equivalente certo della situazione rischiosa iniziale, $CE$. Dunque il massimo che l’individuo è disposto a pagare, indicato con $WTP$ nel grafico, è pari a $10000-CE$. Come si vede dal grafico, questa disponibilità a pagare si può scrivere come somma di due componenti:
- il premio equo, cioè il valore atteso della perdita, che indichiamo con $FP$;
- il premio al rischio, cioè l’ammontare aggiuntivo che l’individuo è disposto a pagare pur di eliminare il rischio, indicato con $RP$.
Nel grafico inferiore della figura, rappresentiamo la disponibilità a pagare per una polizza in funzione del parametro $\pi$. Poiché il premio al rischio è tanto più alto quanto più l’individuo è avverso al rischio (cioè quanto più basso è $\pi$), ne segue che la disponibilità a pagare diminuisce al crescere di $\pi$.
Domanda di mercato
Nel grafico inferiore della Figura 11.4 — identico al grafico di sinistra della Figura 11.5 qui sotto — abbiamo rappresentato la disponibilità a pagare per una polizza in funzione del parametro $\pi$ che misura la propensione al rischio. A partire da quella relazione, nella parte destra della Figura 11.5 costruiamo un nuovo grafico che rappresenta la curva di domanda di mercato di polizze — la relazione tra il prezzo di una polizza e il numero di individui disposti ad acquistarla.
Assumiamo che nella popolazione vi siano esattamente $1000$ individui avversi al rischio, cioè con un valore di $\pi$ compreso tra $0$ e $1$. Come si vede dal grafico di sinistra della Figura 11.5, un individuo estremamente avverso al rischio ($\pi\approx 0$) ha un equivalente certo vicino a zero ed è quindi disposto a pagare quasi l’intera ricchezza, cioè $10000$, per una polizza. Un individuo molto poco avverso al rischio ($\pi \approx 1$) attribuisce alla polizza un valore poco superiore al premio equo, cioè $10000p$. La curva di domanda deve quindi passare per il punto $(0,10000)$, che rappresenta l’individuo più avverso al rischio, e per il punto $(1000,10000p)$, che corrisponde all’ultimo individuo per cui l’acquisto della polizza è conveniente.
Assumendo, per semplicità, che la curva di domanda sia lineare, l’unica curva compatibile con queste due condizioni è \(P=10000-10 \times (1-p) \times Q\) La curva è decrescente: al crescere del prezzo diminuisce il numero di individui per cui l’assicurazione è conveniente, perché solo quelli con maggiore avversione al rischio sono disposti a pagare di più.
Offerta ed equilibrio
Dal lato dell’offerta, assumiamo che la probabilità di sinistro $p$ sia nota alla compagnie di assicurazione e che queste, potendo diversificare su un ampio portafoglio di clienti, siano neutrali al rischio. Assumiamo inoltre che il mercato sia concorrenziale: le compagnie quindi offrono polizze a un prezzo pari al valore atteso dell’indennizzo, senza ottenere profitti. Poiché ogni individuo ha probabilità $p$ di perdere $10000$, il valore atteso dell’indennizzo — cioè il costo marginale atteso della compagnia — è pari a $10000p$. L’offerta è dunque rappresentata da una retta orizzontale al livello del premio equo: $P=10000p$.
L’equilibrio di mercato è socialmente efficiente. Poiché il prezzo è pari al costo atteso, ogni polizza venduta genera un guadagno netto di benessere per l’assicurato, e non genera perdite per l’assicuratore. Ogni scambio realizzato aumenta l’utilità attesa degli individui avversi al rischio, senza peggiorare la situazione delle imprese assicurative. D’altra parte, ogni scambio non realizzato (con individui propensi al rischio, che valutano la polizza meno del premio equo) avrebbe generato un surplus negativo.
In equilibrio c’è quindi una allocazione efficiente del rischio: gli unici agenti che restano esposti al rischio sono le compagnie assicurative, che sono neutrali al rischio e quindi indifferenti, e gli individui propensi al rischio, per i quali l’assicurazione non è conveniente. Il mercato trasferisce il rischio da chi non lo tollera (gli avversi al rischio) a chi lo tollera (le compagnie), garantendone una redistribuzione efficiente. Questo risultato costituisce un benchmark che utilizzeremo nel capitolo successivo per valutare gli effetti dell’informazione asimmetrica.