10.1 Tasso d'interesse e valore attuale
Un’altra importante applicazione della teoria del consumatore riguarda le scelte di risparmio degli individui. Nella prossima sezione analizzeremo il problema di un consumatore/risparmiatore che vive e percepisce redditi per due periodi (che chiameremo periodo presente e periodo futuro, o periodo 0 e periodo 1) e sceglie quanto consumare nel primo e secondo periodo.
Tasso d'interesse
Come vedremo nella prossima sezione, le scelte di risparmio o indebitamento di un individuo dipendono, tra le altre cose, anche dalle condizioni a cui è possibile dare o prendere soldi in prestito. Risparmiare una certa somma di denaro vuol dire rinunciare a quel denaro per un periodo di tempo, dandone la disponibilità al debitore, per esempio una banca. Al contrario, prendere in prestito una certa somma di denaro vuol dire riceverne la disponibilità da qualcun altro ed essere quindi debitore verso quest’ultimo. In entrambi i casi, alla scadenza il debitore deve restituire una somma maggiore del capitale preso in prestito. La differenza è l’interesse, ovvero il compenso per aver avuto la disponibilità del capitale.
L’interesse che il debitore deve corrispondere è di solito espresso come percentuale del capitale preso in prestito. Tale percentuale si chiama tasso d’interesse e di seguito la indicheremo con il simbolo $R$. Per esempio, se nel periodo presente l’individuo risparmia 150 euro e il tasso d’interesse è pari al 10% (cioè $R=0,1$), allora nel periodo futuro l’individuo riceverà 165 euro, ovvero il capitale iniziale, 150 euro, più un interesse pari al 10% di 150 euro, ovvero 15 euro.
In generale, se nel periodo presente l’individuo risparmia $S$ euro, nel periodo futuro gli verranno restituiti $(1+R)\times S$ euro.
Valore attuale
Abbiamo appena visto che per calcolare il valore futuro di una somma attuale dobbiamo moltiplicare quella somma per $(1+R)$. Ogni euro risparmiato nel presente permette di avere $1+R$ euro in più nel futuro, quindi $S$ euro risparmiati nel presente permettono di avere $(1+R)S$ euro in più nel futuro.
E se, al contrario, volessimo calcolare quanto l’individuo deve risparmiare nel periodo presente per avere una certa somma in futuro? Per fare questo calcolo dovremmo eseguire l’operazione inversa, ovvero dividere quella somma futura per $(1+R)$. Supponiamo, per esempio, che il tasso d’interesse sia del 5% e che nel periodo presente l’individuo voglia risparmiare esattamente tanto quanto basta a vedersi restituiti 210 euro in futuro. L’individuo deve allora risparmiare $210/(1+R)=210/1.05=200$ euro.
Saper calcolare quanto vale nel periodo presente una somma ricevuta (o dovuta) in futuro ci permette di calcolare il valore attuale di un flusso di somme di denaro. Supponiamo, per esempio, che il tasso d’interesse sia del 10% e che un individuo riceva uno stipendio pari a $X_0=800$ euro nel periodo presente e $X_1=1100$ euro nel periodo futuro. Se nel periodo presente decidesse di non spendere nulla e quindi risparmiare interamente il suo stipendio, nel periodo futuro la ricchezza dell’individuo sarebbe pari a 1980 euro:
\(\begin{gathered} (1+R)\times X_0+X_1=1.1\times800+1100=1980 \end{gathered}\)
Il valore attuale del flusso (indicato con $PV$, abbreviazione di Present Value) è quella somma di denaro che, se risparmiata nel periodo presente, avrebbe un valore futuro esattamente pari a quello del flusso di denaro, ovvero 1980 euro:
\(\begin{gathered} PV = \dfrac{(1+R)X_0 + X_1}{1+R} = \dfrac{1980}{1.1} = 1800 \end{gathered}\)
Il concetto di valore attuale è importante perché ci permette di confrontare tra loro flussi di denaro diversi. Dalla discussione appena fatta, per esempio, possiamo concludere che se il tasso d’interesse è del 10%, allora per l’individuo i seguenti scenari sono del tutto equivalenti:
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Avere uno stipendio di 800 euro nel periodo 0 e 1100 euro nel periodo 1
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Avere uno stipendio di 1800 euro nel periodo 0 e 0 euro nel periodo 1
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Avere uno stipendio di 0 euro nel periodo 0 e 1980 euro nel periodo 1
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Ecc.
La seguente figura illustra i concetti introdotti in questa sezione.