10.2 Risparmio e indebitamento

In questa sezione analizzeremo il problema di un consumatore che vive e percepisce redditi per due periodi (periodo 0 e periodo 1) e deve decidere quanto consumare nei due periodi. Indicheremo con $C_0$ il consumo presente (periodo 0) e con $C_1$ il consumo futuro (periodo 1). I redditi dell’individuo nei due periodi verranno indicati con $M_0$ e $M_1$, mentre il prezzo di una unità del bene di consumo è $P_0$ nel periodo 0 e $P_1$ nel periodo 1.

Vincolo di bilancio intertemporale

Quali sono le possibili combinazioni di consumo presente e futuro che l’individuo può permettersi? Indicando con $R$ il tasso d’interesse a cui l’individuo può dare o prendere soldi in prestito, dovrebbe essere chiaro che una combinazione $(C_0,C_1)$ è accessibile se e solo se, indicando con $S$ la somma data in prestito dall’individuo (dove $S>0$ vuol dire risparmio e $S<0$ indebitamento), le seguenti due condizioni sono entrambe soddisfatte:

• La spesa per consumi nel periodo 0 è pari al reddito del periodo 0, diminuito della somma risparmiata (o aumentato della somma presa in prestito) dall'individuo: $$ P_0 C_0 = M_0 - S $$

• La spesa per consumi nel periodo 1 è pari al reddito del periodo 1, aumentato della somma risparmiata (o diminuito della somma presa in prestito) e relativo interesse: $$ P_1 C_1 = M_1 +(1+R) S $$

Mettendo insieme le due condizioni (per esempio calcolando $S=M_0-P_0C_0$ dalla prima equazione e sostituendo nella seconda) otteniamo la risposta alla nostra domanda. Le combinazioni $(C_0,C_1)$ che l’individuo può permettersi sono quelle che si trovano sul vincolo di bilancio intertemporale

\(\begin{gathered} C_1 = \dfrac{(1+R)M_0+M_1}{P_1} - \dfrac{(1+R)P_0}{P_1} C_0 \end{gathered}\)

Prima di andare avanti, vale la pena fare qualche osservazione:

• L'intercetta verticale del vincolo di bilancio (ovvero il valore di $C_1$ corrispondente a $C_0=0$) è pari a $[(1+R)M_0+M_1]/P_1$. Il numeratore di questo rapporto è il valore futuro del flusso di redditi dell'individuo, cioè la somma di denaro che l'individuo ha a disposizione nel periodo 1, se decide di risparmiare tutto il suo reddito nel periodo 0. Dividendo quel valore per il prezzo futuro del consumo si ottiene quindi il massimo consumo futuro che l'individuo può permettersi.

• L'intercetta orizzontale del vincolo di bilancio (ovvero il valore di $C_0$ corrispondente a $C_1=0$) è pari a $[M_0+M_1/(1+R)]/P_0$. Il numeratore di questo rapporto è il valore attuale del flusso di redditi dell'individuo, cioè la somma di denaro che l'individuo ha a disposizione nel periodo 0, se decide di indebitarsi al massimo. Dividendo quel valore per il prezzo del consumo nel periodo 0 si ottiene quindi il massimo consumo che l'individuo può permettersi nel periodo 0.

• La pendenza del vincolo di bilancio, $(1+R)P_0/P_1$, misura il valore in termini di consumo futuro che il mercato attribuisce al consumo presente. Infatti rinunciare ad una unità di consumo presente vuol dire risparmiare $P_0$ euro in più e quindi avere, in futuro, $(1+R)P_0$ euro in più, ovvero $(1+R)P_0/P_1$ unità di consumo in più.

• Quale che sia il tasso di interesse $R$, per l'individuo è sempre possibile consumare $C_0=M_0/P_0$ nel periodo presente e $C_1=M_1/P_1$ nel periodo futuro. Questa combinazione di consumi (indicata come "situazione iniziale" nel grafico qui sotto), infatti, non richiede né risparmio né indebitamento: in ogni periodo l'individuo spende esattamente tanto quanto è il suo reddito in quel periodo.

Le figura qui sotto illustra il vincolo di bilancio intertemporale e permette di vedere come esso cambia al variare dei suoi parametri (redditi, prezzi e tasso di interesse).

Scelta ottima del consumatore/risparmiatore

Assumendo che le preferenze del consumatore/risparmiatore siano del tipo Cobb-Douglas

\(\begin{gathered} U(C_0,C_1) = C^a_0 C^b_1 \end{gathered}\)

la figura qui sotto illustra la scelta ottima e come essa dipende dai parametri della funzione di utilità ($a$ e $b$), da redditi e prezzi nei due periodi, e dal tasso d’interesse.