2.1 Preferenze e utilità

Come fanno gli individui a decidere cosa comprare? L’idea alla base della teoria del consumatore che presentiamo in questo capitolo è molto semplice: il consumatore sceglie la combinazione di beni preferita tra quelle che può permettersi. Per rendere precisa questa idea, cosa che faremo nella Sezione 2.3, dobbiamo prima di tutto sviluppare gli strumenti necessari a formalizzare matematicamente le preferenze. Ciò è quanto faremo in questa sezione e nella prossima.

L’oggetto della scelta di un consumatore è un paniere, cioè una lista delle quantità dei vari beni o servizi che l’individuo consuma in un dato intervallo di tempo. Per fare un esempio, se il nostro interesse è parlare della scelta di come trascorrere serate nell’arco di un mese, e all’individuo di cui parliamo interessano solo cene in pizzeria e serate al cinema, un paniere sarà semplicemente una lista di due numeri. Così il paniere $(3,1)$ rappresenterà l’alternativa “tre volte in pizzeria e una al cinema”, il paniere $(2,5)$ l’alternativa “due volte in pizzeria e cinque al cinema”, ecc.

Concentrare l’attenzione su due beni alla volta (che da ora in poi spesso chiameremo “bene $X$” e “bene $Y$”, indicando con $X$ e $Y$ anche delle loro generiche quantità) ci permette di semplificare la teoria senza tralasciarne gli aspetti più importanti. Una grande semplificazione sta nel fatto che possiamo rappresentare lo spazio dei possibili panieri come un piano dove le coordinate di un punto sono le quantità all’interno del paniere rappresentato da quel punto. La figura qui sotto fornisce un esempio di quali potrebbero essere le preferenze di un consumatore.

L’esempio appena fatto si basa su un’ipotesi Più precisamente, ciò che assumiamo è che la preferenza sia asimmetrica (se un paniere $A$ è preferito ad un paniere $B$, allora $B$ non è preferito ad $A$) e negativamente transitiva (se $A$ non è preferito a $B$ e $B$ non è preferito a $C$, allora $A$ non è preferito a $C$). implicita che prenderemo sempre per vera, cioè che il consumatore sappia ordinare coerentemente tutti i possibili panieri (con possibili ex aequo). Altre due proprietà che risultano soddisfatte nell’esempio e che assumeremo sempre sono le seguenti:

• Non sazietà: dati due panieri $A$ e $B$ qualunque, se $B$ contiene maggiori quantità di entrambi i beni rispetto ad $A$, allora il consumatore preferisce $B$.

• Convessità o preferenza per la varietà: dati due panieri $A$ e $B$ qualunque, se $B$ è preferito ad $A$, allora il paniere $C$ ottenuto facendo la media di $A$ e $B$ è anch'esso preferito ad $A$.

Guardando alla Figura 2.1, la prima proprietà è facile da verificare: qualunque paniere $A$ si scelga, tutti i panieri che si trovano a nord-est di $A$ sono preferiti ad $A$. Per verificare la seconda proprietà, prendiamo ad esempio il paniere $A=(4,1)$ e consideriamo il paniere $B=(2,5)$, che è preferito ad $A$. Come richiesto dalla preferenza per la varietà, il paniere $C=(3,3)$, che è la media di $A$ e $B$, è anch’esso preferito ad $A$.

Beni divisibili e indifferenza

L’esempio in Figura 2.1 considera beni Anche se i ristoranti offrissero mezze pizze nel menu, diremmo comunque che la pizza è un bene indivisibile, dato che per es. non si potrebbe ordinarne una e tre quarti. indivisibili: non è possibile acquistare tre quarti di ingresso al cinema o due pizze e mezza. Una conseguenza della indivisibilità è che risulta spesso impossibile variare i consumi in modo tale da lasciare il consumatore indifferente. Consideriamo il paniere $A=(2,4)$ e supponiamo di aggiungere una pizza e sottrarre serate al cinema. Quante serate al cinema dovremmo sottrarre per lasciare il consumatore indifferente? La domanda non ha risposta: sottrarne due è troppo poco, dato che il paniere $(3,2)$ è preferito ad $A$, mentre sottrarne tre è troppo, dato che $A$ è preferito al paniere $(3,1)$.

In tante altre situazioni, ed è quasi esclusivamente su queste che ci concentreremo, le scelte riguardano beni Pensare a ogni coppia di numeri come un possibile paniere è una buona approssimazione anche quando i beni non sono divisibili, se le quantità in questione sono elevate. Nell’esempio di pizza e cinema, se l’intervallo di tempo di riferimento fosse dieci anni anziché un mese, dovremmo disegnare ciascun asse della Figura 2.1 fino a $10\times 12\times 6=720$ unità anziché fino a 6. I punti (panieri) all’interno degli assi sarebbero quindi fittissimi, dato che ne avremmo $720\times 720=518400$ anziché $36$. che possiamo in buona approssimazione considerare perfettamente divisibili, cioè beni che si comprano a frazioni anche piccole di chilo, litro, o metro quadrato, come cibo (e altri beni o servizi in genere) e appartamenti in affitto. In tali situazioni diventa sensato pensare a ogni punto del piano come un possibile paniere. Diventa anche sensato ipotizzare che, a partire da un qualunque paniere $A$, qualunque variazione nel consumo di un bene possa essere controbilanciata da una variazione nel consumo dell’altro bene, in modo tale da lasciare il consumatore indifferente.

Graficamente, ciò significa che per ogni paniere $A$ esiste una curva di indifferenza, definita come l’insieme di tutti i panieri esattamente tanto desiderabili quanto $A$, che attraversa l’intero spazio dei panieri passando, ovviamente, per il paniere $A$ stesso, e separando i panieri preferiti ad $A$ da quelli a cui $A$ è preferito. Considerando tutti i possibili panieri avremo così tracciato una famiglia infinita di curve di indifferenza che fornisce una descrizione completa delle preferenze del consumatore.

La figura seguente Nella realtà ciò che chiamiamo “generico bene di consumo” è a sua volta un paniere e quindi non un singolo numero. Nella figura (e nel resto delle note) lo trattiamo come un numero per semplicità e lo misuriamo in chili solo per concretezza. fornisce un esempio di quali potrebbero essere le preferenze di un consumatore quando $X$ è un generico bene di consumo (cibo, abbigliamento, trasporto, ecc.) e $Y$ la dimensione dell’appartamento dove vivere.

Nella figura abbiamo rappresentato curve di indifferenza che non si intersecano tra loro e sono sottili, decrescenti e convesse. In effetti, tali proprietà sono necessariamente vere, date le ipotesi che abbiamo fatto:

• Dato un paniere $A$ ed un altro paniere $B$ preferito ad $A$, la curva di indifferenza passante per $B$ non può intersecare quella passante per $A$. Se le due curve avessero un paniere $C$ in comune, il consumatore sarebbe indifferente sia tra $A$ e $C$ sia tra $B$ e $C$, quindi (per l'ipotesi di ordinamento discussa prima) sarebbe anche indifferente tra $A$ e $B$, contraddicendo il fatto che preferisce $B$ ad $A$.

• Se una curva di indifferenza fosse "spessa" (come nel grafico di sinistra della figura qui sotto) o presentasse dei tratti crescenti (come nel grafico centrale della figura), essa conterrebbe due panieri $A$ e $B$ che sono ugualmente desiderabili (dato che si trovano sulla stessa curva di indifferenza) e tali che $B$ si trova a nord-est di $A$. Data la proprietà di non sazietà, questo è però impossibile.

• Se una curva di indifferenza presentasse dei tratti concavi (come nel grafico di destra della figura qui sotto), sarebbe possibile trovare due panieri $A$ e $B$ tali che $B$ è preferito ad $A$, ma il paniere $C$ ottenuto come media di $A$ e $B$ non è preferito ad $A$, contraddicendo la preferenza per la varietà.

FIGURA 2.3

Utilità

Un modo veloce e intuitivo di rappresentare le preferenze di un consumatore è attraverso una funzione di utilità, cioè una funzione che assegna ad ogni paniere $(X,Y)$ un indice numerico $U(X,Y)$, in modo tale che un paniere sia preferito ad un altro se e solo se il numero assegnato al primo paniere è più alto di quello assegnato al secondo paniere.

Avendo Per fare un’analogia, una curva di indifferenza è come una isoipsa che unisce tutti i punti del piano, cioè combinazioni di latitudine e longitudine (nel nostro contesto, panieri), in corrispondenza dei quali l’altitudine (nel nostro contesto, il livello di utilità) è lo stesso. aggiunto questa terza dimensione allo spazio dei possibili panieri, possiamo allora vedere le curve di indifferenza del consumatore come curve di livello: ognuna corrisponde ad un livello di utilità e contiene tutti i panieri associati a quel livello di utilità (e solo quelli).

La figura seguente illustra un esempio.

È importante notare che non tutte le funzioni che associano un numero ad ogni paniere sono funzioni di utilità. È infatti necessario Tecnicamente, ciò che serve è che la funzione $U$ sia strettamente crescente e quasi-concava. che panieri di uguale utilità giacciano su una curva sottile, decrescente e convessa, e che le curve corrispondenti a utilità più alte giacciano a nord-est di quelle corrispondenti a utilità più basse.

Infine, è importante tenere a mente che l’unità di misura dell’utilità è del tutto irrilevante, essendo l’utilità un concetto puramente ordinale: ci permette di dire se un paniere fornisce al consumatore più o meno (o lo stesso) benessere di un altro paniere, ma non costituisce in alcun modo una misura di quanto benessere il consumatore ottiene con un paniere o con l’altro. Guardando la Figura 2.4 vediamo che, se assumiamo la funzione di utilità $U=XY$, allora in corrispondenza dei panieri $(4,4)$ e $(9,1)$ le utilità sono pari a $16$ e $9$, rispettivamente. Questi numeri non hanno alcun significato di per sé. Ciò che ha significato è che $16$ è maggiore di $9$ e quindi il paniere $(4,4)$ è preferito al paniere $(9,1)$. In effetti, la stessa preferenza può essere rappresentata, cambiando l’unità di misura dell’utilità, attraverso la funzione $U=\sqrt{XY}$, dato che $\sqrt{4\times 4}>\sqrt{9\times 1}$. Guardando al grafico della funzione $U=\sqrt{XY}$ ci rendiamo infatti conto che essa genera una famiglia di curve di indifferenza identica a quella generata dalla funzione $U=XY$.

Gli economisti utilizzano tanti tipi di funzioni di utilità. In queste note Il caso particolare $U=X^\alpha Y^\beta$, cioè con $\sigma=0$, è una funzione di tipo Cobb-Douglas, dal nome dei due economisti che nel 1928 utilizzarono tali funzioni nei loro studi. Il tipo più generale di funzione che stiamo considerando è una variante di una funzione di utilità Stone-Geary, dal nome dei due economisti che, qualche anno dopo, generalizzarono appunto le funzioni di tipo Cobb-Douglas. ci limiteremo a funzioni che hanno la forma

\(\begin{gathered} U = (X+\sigma)^\alpha (Y+\sigma)^\beta \end{gathered}\)

dove $\alpha>0$ e $\beta>0$ sono parametri soggettivi che riflettono l’importanza che il consumatore attribuisce ai beni $X$ e $Y$, rispettivamente, mentre $\sigma\geqslant 0$ riflette la sostituibilità tra i beni, di cui parleremo nella prossima sezione.

È utile notare che la famiglia di curve di indifferenza generate (e quindi le preferenze rappresentate) Nel discutere la Figura 2.5 avevamo già notato che assumere $\alpha=1$ e $\beta=1$ oppure $\alpha=0.5$ e $\beta=0.5$ non fa alcuna differenza. dipendono da $\alpha$ e $\beta$ solo attraverso il loro rapporto $\alpha/\beta$, cioè l’importanza relativa di $X$ rispetto a $Y$. Per esempio, un consumatore con preferenze rappresentate da $U=(X+1)^2(Y+1)$ è identico ad un consumatore con preferenze rappresentate da $U=(X+1)^4(Y+1)^2$ oppure da $U=(X+1)(Y+1)^{0.5}$.

La figura qui sotto illustra tre esempi (le preferenze di Alice, le stesse della Figura 2.2, sono rappresentate dalla funzione di utilità $U=XY$, di cui abbiamo disegnato il grafico nella Figura 2.4).

FIGURA 2.6

Come si può notare dalla figura, non tutti i consumatori che preferiscono la varietà e non si saziano sono uguali. Per esempio, Alice è indifferente tra i panieri $(1,8)$ e $(4,2)$. In altre parole, a partire dal paniere $(1,8)$ sarebbe disposta a cedere sei unità di $Y$ per avere tre unità di $X$ in più. Bruno invece preferisce $(4,2)$ a $(1,8)$, Bruno sarebbe disposto a cederne $7.5$, visto che la sua funzione di utilità $U=X^2Y$ comporta indifferenza tra $(1,8)$ e $(4,0.5)$, essendo $1^2\times 8=4^2\times 0.5$. sarebbe cioè disposto a cedere più di sei unità di $Y$ per avere tre unità di $X$ in più. Carmen, al contrario, preferisce $(1,8)$ a $(4,2)$, sarebbe cioè disposta a cedere meno di sei unità di $Y$ per avere tre unità di $X$ in più.

Le preferenze di Carmen presentano un’altra differenza importante rispetto a quelle di Alice e Bruno. Tra un paniere che presenta quantità positive di entrambi i beni (un paniere interno) e un paniere dove la quantità di uno dei due beni è zero, Alice preferisce sempre il primo, e lo stesso vale per Bruno. Ciò è dovuto al fatto che con preferenze Cobb-Douglas ($\sigma=0$) la curva di indifferenza passante per un paniere interno non tocca mai gli assi. Le curve di indifferenza di Carmen, invece, toccano gli assi. Carmen può essere quindi Per esempio, Carmen è indifferente tra $(0,7)$ e $(5,1)$ e preferisce $(6,0)$ a $(2,2)$. indifferente tra un paniere interno e un paniere dove la quantità di uno dei due beni è zero, o preferire quest’ultimo, purché la quantità dell’altro bene sia sufficientemente alta. Ciò è dovuto al fatto che, nel suo caso, $\sigma>0$.

Come vedremo nel resto del capitolo, la disponibilità di un consumatore a scambiare un bene con un altro a partire da un qualunque paniere gioca un ruolo chiave nelle sue decisioni di consumo.