2.3 Vincolo di bilancio, scelta ottima e domanda

Ora che abbiamo discusso cosa il consumatore vuole, passiamo alla descrizione di ciò che il consumatore può fare e all’analisi della sua scelta ottima.

Panieri accessibili e vincolo di bilancio

Chiamiamo accessibile un paniere che l’individuo può permettersi di acquistare. Indicando con $M$ il reddito dell’individuo e con $P_X$ e $P_Y$ i prezzi dei due beni, un paniere $(X,Y)$ è quindi accessibile se $ P_XX+P_YY\leq M$.

Nel caso di beni indivisibili come pizze al ristorante e biglietti del cinema, il consumatore potrebbe non spendere tutto il proprio reddito. Per esempio, è impossibile spendere $35$ euro in pizze e cinema se, come nell’esempio appena visto, i loro prezzi sono rispettivamente $6$ e $8$.

Nel caso di beni divisibili come consumi in genere e alloggio diventa sensato (e importante, come vedremo) chiedersi quali panieri richiedono una spesa esattamente pari al reddito dell’individuo. Essi sono quei panieri che soddisfano il vincolo di bilancio del consumatore, ovvero l’equazione $P_XX+P_YY = M$. Riscrivendo il vincolo di bilancio nella forma

\(\begin{gathered} Y = \frac{M}{P_Y} - \frac{P_X}{P_Y}X \end{gathered}\)

notiamo che esso definisce una retta (chiamata retta di bilancio) di intercetta $M/P_Y$ e pendenza $-P_X/P_Y$. I panieri accessibili sono quelli che si trovano sulla retta di bilancio (in verde scuro nel grafico qui sotto) o al di sotto di essa (area verde chiaro).

Scelta ottima e funzioni di domanda

Siamo adesso pronti a definire in modo preciso e calcolare la scelta ottima del consumatore, ovvero il paniere preferito tra quelli che può permettersi. Graficamente, la scelta ottima è il paniere che soddisfa le seguenti due proprietà: appartiene all’insieme dei panieri accessibili, e l’insieme dei panieri ad esso preferiti non si sovrappone all’insieme dei panieri accessibili.

La figura ci permette di fare due osservazioni importanti. Primo, il paniere ottimo non solo è accessibile, ma si trova sulla retta di bilancio: il consumatore spende tutto il suo reddito. Secondo, muovendoci lungo la retta di bilancio, il segno della differenza tra $MRS_{XY}$ e $P_X/P_Y$ ci guida verso la scelta ottima. A partire da un paniere dove la curva di indifferenza è più inclinata del vincolo di bilancio, cioè dove $MRS_{XY}>P_X/P_Y$, il consumatore ha incentivo a ridurre la spesa per $Y$ e aumentare di un uguale ammontare quella per $X$. Se invece la curva di indifferenza è meno inclinata del vincolo di bilancio, cioè se $MRS_{XY}< P_X/P_Y$, il consumatore ha incentivo a ridurre la spesa per $X$ e aumentare di un uguale ammontare la spesa per $Y$.

Da queste osservazioni otteniamo la regola di scelta ottima del consumatore:

Avendo calcolato la scelta ottima, abbiamo anche calcolato la funzione di domanda individuale di ciascun bene. Una funzione di domanda individuale è la relazione tra il La quantità domandata di un bene è la quantità di quel bene all’interno del paniere ottimo. prezzo di un bene e la quantità di quel bene che un singolo consumatore domanda a quel prezzo, tenendo fissi reddito e prezzo dell’altro bene. Descrivere questo legame è utile se siamo interessati (e lo saremo nel resto di queste note) a parlare del mercato Un altro vantaggio è la semplificazione: si evidenzia la relazione tra la quantità domandata di un bene ed il suo prezzo attraverso un concetto facilmente fruibile anche da chi (diversamente da noi 🤓) non possiede tutto l’armamentario (utilità, vincolo di bilancio, ecc.) necessario. di un singolo bene alla volta e, quindi, la questione da focalizzare è come cambia il consumo di quel bene quando il prezzo di quel bene aumenta o diminuisce.

La Figura 2.12 illustra la scelta ottima per due particolari funzioni di utilità e tre configurazioni di reddito e prezzi. La figura seguente spiega come calcolare la scelta ottima, e da essa la funzione di domanda di $X$, più in generale. Ricordiamo dalla sezione precedente che il saggio marginale di sostituzione derivante dalla funzione di utilità $U=(X+\sigma)^\alpha(Y+\sigma)^\beta$ è

\(\begin{gathered} MRS_{XY} = \dfrac{\alpha}{\beta} \times \dfrac{Y+\sigma}{X+\sigma} \end{gathered}\)

La figura ci permette di fare alcune osservazioni:

• Una variazione del prezzo del bene ($P_X$) provoca uno spostamento lungo la curva di domanda di $X$, e vale la legge della domanda: all'aumentare di $P_X$ la quantità domandata di $X$ diminuisce.

• La quantità domandata di $X$ Un bene inferiore è invece un bene la cui quantità domandata diminuisce all'aumentare del reddito. In queste note consideriamo solo beni normali. aumenta all'aumentare del reddito: $M$ appare al numeratore nella formula di $X$. Una variazione del reddito provoca quindi uno spostamento della curva di domanda di $X$, verso destra o sinistra a seconda che il reddito aumenti o diminuisca. Gli economisti definiscono normale un bene la cui quantità domandata aumenta all'aumentare del reddito.

• Con preferenze Cobb-Douglas ($\sigma=0$) siamo sempre nel caso (iii) e abbiamo $$ X=\frac{[\alpha/(\alpha+\beta)]M}{P_X} \qquad Y=\frac{[\beta/(\alpha+\beta)]M}{P_Y} $$ In altre parole, quali che siano i prezzi dei beni, il consumatore spende sempre la stessa frazione $\alpha/(\alpha+\beta)$ del reddito in $X$ e la restante frazione, $\beta/(\alpha+\beta)$, in $Y$.

• In particolare, nel caso Cobb-Douglas la quantità domandata di $X$ non dipende dal prezzo dell'altro bene: quando $\sigma=0$, infatti, $P_Y$ scompare dalla formula di $X$. In altre parole, al variare di $P_Y$ la curva di domanda di $X$ non si sposta. Gli economisti definiscono indipendenti due beni che hanno questa caratteristica.

• Quando $\sigma>0$, invece, un aumento di $P_Y$ modifica non solo la quantità domandata di $Y$, facendola diminuire (a meno che non siamo nel caso (i), dove essa è già zero), ma anche quella di $X$, facendola aumentare (a meno che non siamo nel caso (i) o, se $P_Y$ aumenta di poco, nel caso (ii)). Si chiamano invece complementari due beni tali che la quantità domandata di uno diminuisce all'aumentare del prezzo dell'altro. In queste note non consideriamo beni complementari. In altre parole, una variazione di $P_Y$ provoca uno spostamento della curva di domanda di $X$ verso destra o sinistra a seconda che $P_Y$ aumenti o diminuisca. Gli economisti definiscono sostituti due beni che hanno questa caratteristica.

• Se i beni sono ugualmente importanti ($\alpha=\beta$) e il parametro di sostituibilità $\sigma$ è molto alto (tende a infinito), i beni sono omogenei. In tale situazione il caso (iii) può verificarsi solo se la differenza tra $P_X$ e $P_Y$ è minima, siamo cioè quasi sempre nel caso (i) o nel caso (ii). A meno che i due beni non abbiamo prezzi quasi uguali, il consumatore compra solo il meno costoso dei due.