3.1 Produzione e produttività

Il bene o servizio che definisce un mercato è di solito venduto da imprese, istituzioni la cui funzione è appunto fornire beni e servizi. In alcuni casi le imprese hanno strutture anche molto complesse, definite da obiettivi, tecnologie, gerarchie, contratti di lavoro e molto altro. I tratti di base comuni alla maggior parte delle imprese sono però due: la tecnologia dell’impresa, ovvero cosa e come l’impresa produce, e l’obiettivo di massimizzare il profitto della sua attività. Inizieremo Affronteremo un altro argomento importante, i contratti che definiscono le relazioni lavoratore/impresa, nei Capitoli 12 e 13. allora definendo un’impresa nel modo forse più semplice possibile, ovvero come una “scatola nera” che usa input per produrre output, con l’obiettivo di massimizzare il profitto.

Per prima cosa dobbiamo chiederci quali sono le possibilità produttive a disposizione delle imprese, ovvero le combinazioni di input e output che la tecnologia consente loro di ottenere. Per semplicità, Nella realtà, quasi tutte le imprese producono più di un tipo di prodotto. assumeremo che l’output sia un singolo bene (per esempio pasta, misurata in chilogrammi prodotti a settimana) e che Quello che chiamiamo lavoro rappresenta quindi ciò che in realtà è una combinazione di fattori: nel caso della pasta, per esempio, acqua, farina, e così via, oltre naturalmente al lavoro. la produzione avvenga in unità produttive — stabilimenti o sedi, come i pastifici — che utilizzano un singolo fattore di produzione: il lavoro, misurato in giornate.

Dobbiamo poi chiederci qual è la struttura del mercato che intendiamo analizzare. In questo capitolo, e in quello successivo, ci occuperemo di mercati concorrenziali, cioè mercati popolati da un numero elevato di piccole imprese price-taker. Sempre per semplicità, “piccola” per noi significherà “che consiste di una sola unità produttiva”. Un’impresa concorrenziale può dunque decidere quanto lavoro impiegare — il lavoro è quindi un input variabile — ma non può modificare il numero (né la dimensione) delle proprie unità produttive, cioè il suo livello di capitale, che è quindi un input fisso ad un livello pari a uno.

Funzione di produzione dell'impresa

Per descrivere la frontiera efficiente di produzione di un’impresa, ovvero le sole possibilità produttive che l’impresa prende in considerazione (quelle efficienti), utilizziamo una funzione di produzione, ovvero una funzione $Q=F(L)$ che associa ad ogni quantità di lavoro $L$ la massima quantità di output $Q$ ottenibile con quella quantità di lavoro.

Uno dei tipi di funzione di produzione più frequentemente utilizzati dagli economisti (e l’unico che consideriamo in dettaglio in queste note) ha la seguente forma:

\(\begin{gathered} Q = A \sqrt{L} \end{gathered}\)

dove $A>0$ è un parametro da cui dipende la produttività dell’impresa, come vedremo.

Abbiamo Nella Figura 3.1 le quantità di output indicate sull’asse verticale sono state arrotondate. Per esempio, in corrispondenza di $L=2$ la quantità di output $Q=80\sqrt{2}=113.137..$ è stata arrotondata a 113. in effetti appena incontrato questo tipo di funzione di produzione: ponendo $A=80$ otteniamo la frontiera efficiente di produzione rappresentata nella Figura 3.1.

Nella figura qui sotto è possibile vedere come cambia la forma della funzione di produzione al variare di $A$, assumendo che il lavoro sia un input divisibile.

Produttività dell'impresa

In breve, la produttività di un’impresa è data dal rapporto tra quantità di output e quantità di input (lavoro) utilizzato. A seconda di cosa intendiamo esattamente per “quantità di input” otteniamo diverse misure di produttività: il prodotto medio ed il prodotto marginale, di cui ora parleremo.

Prodotto medio

Così come possiamo misurare la velocità media durante un viaggio in auto rapportando la distanza percorsa al tempo trascorso, allo stesso modo possiamo misurare la produttività media di un’impresa rapportando la quantità di output prodotta alla quantità di lavoro utilizzata. E così come la velocità media può dipendere da quanto tempo passiamo alla guida (durante un viaggio più lungo potremmo stancarci di guidare, diventando via via più prudenti e quindi più lenti), allo stesso modo la produttività media dell’impresa dipende, in generale, dalla quantità di lavoro utilizzata, è cioè una funzione di $L$. Tale funzione si chiama prodotto medio del lavoro e misura, per ogni quantità $L$ di lavoro impiegato dall’impresa, la quantità di output prodotta, in media, da ogni unità di lavoro impiegata. Il prodotto medio del lavoro si indica col simbolo $AP_L$ e la sua formula è la seguente:

\(\begin{gathered} AP_L = \frac{Q}{L} = \frac{F(L)}{L} = \frac{A\sqrt{L}}{L} = \frac{A}{\sqrt{L}} \end{gathered}\)

Come si Continuando l’analogia con la velocità media, questo vuol dire impiegare proporzionalmente meno tempo a fare un viaggio corto rispetto a uno lungo, ad esempio per via della minore stanchezza. può notare dalla formula (e vedere nella prossima figura), il prodotto medio del lavoro è decrescente, cioè tanto più piccolo quanto più grande è la quantità di lavoro $L$ utilizzata.

Per comprendere meglio il concetto di prodotto medio, torniamo all’esempio illustrato nella Figura 3.1. Riproponiamo quell’esempio, mostrando stavolta anche il prodotto medio, nella seguente figura.

La figura qui sotto mostra come output e prodotto medio variano al variare del parametro $A$ e al variare della quantità di lavoro utilizzata dall’impresa.

Dalla figura si può vedere che, a parità di lavoro utilizzato, la quantità di output è tanto più alta (e quindi anche il prodotto medio è tanto più alto) quanto più grande è $A$. Per esempio, un’impresa caratterizzata dalla funzione di produzione $Q=10\sqrt{L}$ è più produttiva di un’impresa caratterizzata dalla funzione di produzione $Q=5\sqrt{L}$.

Prodotto marginale

Per introdurre il concetto di prodotto marginale è utile tornare all’analogia con la velocità. Sono le 19:45 e siamo in viaggio, guardiamo il tachimetro digitale della nostra auto e leggiamo “72 km/h”. Cosa rappresenta questo numero? Esso misura la velocità istantanea dell’automobile alle 19:45. Per ottenere quel numero lo strumento fa due operazioni. Primo, calcola la distanza in chilometri percorsa nella frazione di tempo, diciamo un decimo di secondo, immediatamente precedente le 19:45. Secondo, dato che la velocità è misurata in chilometri all’ora e ci sono 36000 decimi di secondo in un’ora, divide la distanza per $1/36000$ (cioè la moltiplica per 36000). In altre parole, lo strumento calcola la velocità media dell’automobile durante il viaggio brevissimo che inizia un decimo di secondo prima delle 19:45 e termina alle 19:45. La segnalazione “72 km/h” è evidentemente dovuta al fatto che in quel decimo di secondo l’automobile ha percorso 2 metri. Infatti 2 metri equivalgono a 1/500 di chilometro, quindi la velocità media durante quel viaggio brevissimo, ovvero la velocità istantanea alle 19:45, è stata pari a 2 metri al decimo di secondo, ovvero $(1/500)/(1/36000)=72$ chilometri all’ora.

La velocità istantanea non è altro che la velocità media sostenuta durante un viaggio brevissimo: quello iniziato un decimo di secondo prima di guardare il tachimetro. Allo stesso modo, il prodotto marginale del lavoro non è altro che il prodotto medio dell’ultima, minima quantità $\Delta L$ di lavoro utilizzata dall’impresa. Come il prodotto medio, anche il prodotto marginale è quindi una funzione della quantità di lavoro impiegata, e la sua formula è

\(\begin{gathered} MP_L = \frac{\Delta Q}{\Delta L} = \frac{F(L)-F(L-\Delta L)}{\Delta L} \end{gathered}\)

Data una funzione di produzione del tipo $Q = A\sqrt{L}$, assumendo che il lavoro sia divisibile, il prodotto marginale si calcola come derivata della funzione di produzione (limite del rapporto $\Delta Q/\Delta L$ per $\Delta L$ che tende a zero) ed è quindi dato dalla formula

\(\begin{gathered} MP_L = \frac{A}{2\sqrt{L}}. \end{gathered}\)

Come il prodotto medio, anche il prodotto marginale è decrescente. Maggiore è la quantità di lavoro utilizzata dall’impresa, minore è l’output aggiuntivo prodotto dall’ultima frazione di lavoro impiegata.

Per comprendere meglio il concetto di prodotto marginale, è utile tornare all’esempio illustrato nella Figura 3.1, mostrando stavolta anche il prodotto marginale.

La seguente figura mostra come output, prodotto medio e prodotto marginale variano al variare del parametro $A$ e al variare della quantità di lavoro utilizzata.

Prodotto medio e prodotto marginale sono in stretta relazione tra loro. Come si può notare, le due funzioni sono entrambe decrescenti, ma il prodotto medio è maggiore del prodotto marginale. Se il prodotto marginale fosse crescente (si può verificare questo considerando per es. la funzione di produzione $Q=L^2$), allora anche il prodotto medio sarebbe crescente, e sarebbe minore del prodotto marginale. Il motivo sta nel fatto che il prodotto marginale è decrescente. Intuitivamente, pensiamo a cosa succede alla nostra media scolastica se durante l’anno prendiamo voti via via più bassi. La media si abbasserà man mano che l’anno va avanti, ma sarà sempre maggiore dell’ultimo voto ricevuto.

Funzione di produzione inversa

Finora abbiamo descritto la tecnologia dell’impresa attraverso una funzione di produzione, cioè vedendo la quantità di output prodotto dall’impresa come funzione della quantità di lavoro impiegata. Per esempio, assumere che la funzione di produzione sia $Q=80\sqrt{L}$ vuol dire assumere che impiegando $L=1$ unità di lavoro l’impresa ottiene (al massimo) $Q=80\sqrt{1}=80$ unità di output, impiegando $L=4$ unità di lavoro l’impresa ottiene (al massimo) $Q=80\sqrt{4}=160$ unità di output, e così via.

Un modo equivalente di descrivere la tecnologia dell’impresa è vedere la quantità di lavoro come funzione della quantità di output. Anziché chiederci quanto output l’impresa ottiene, al massimo, con ogni possibile quantità di lavoro, possiamo, in altre parole, chiederci: di quanto lavoro, al minimo, ha bisogno l’impresa per ottenere ogni possibile quantità di output? Rispondere a questa domanda vuol dire specificare la funzione di produzione inversa dell’impresa. Matematicamente, questa non è altro che la funzione inversa della funzione di produzione. Per esempio, se la funzione di produzione è $Q=80\sqrt{L}$, la corrispondente funzione di produzione inversa è $L=Q^2/6400$.

Più in generale, data una funzione di produzione della forma $Q=A\sqrt{L}$, è facile vedere che la corrispondente funzione di produzione inversa è data da

\(\begin{gathered} L = \frac{Q^2}{A^2} \end{gathered}\)

Come vedremo nel prossimo capitolo, calcolare la funzione di produzione inversa è utile per calcolare i costi dell’impresa.